Graduirane mnogostrukosti predstavljaju jedinstven geometrijski okvir za širok spektar geometrijskih i algebarskih struktura te moćan suvremeni alat u matematičkoj fizici. Diferencijalne graduirane (dg) mnogostrukosti, opremljene homološkim vektorskim poljima, poredstavljaju ispravan jezik koji obuhvaća Liejev? algebroide, Courantove algebroide i njihove više strukturne analoge. Istovremeno, one pružaju sustavan način za opis strukture široke klase kvantnih baždarnih teorija polja, posebice putem BV/BRST formalizma. Cilj ovog projekta je otvoriti novo područje u graduiranoj geometriji i dati pionirske doprinose u tri međusobno povezana istraživačka smjera. Prvo, istražit ćemo dg-mnogostrukosti s iščezavajućom Atiyinom klasom, s ciljem postizanja triju novih rezultata: konstrukcije Atiyine klase za Courantove algebroide, Atiyah-Molinoove klase za singularne folijacije te relativne Atiyine klase dg-morfizma, pri čemu potonja pruža teoriju opstrukcija za postojanje kompatibilnih koneksija duž dg-preslikavanja. Važan cilj u ovom smjeru jest i poopćenje Kapranovljeve strukture u okviru dg-svežnjeva te istraživanje Atiyine klase u graduiranoj simplektičkoj geometriji. Drugo, razvit ćemo inovativne alate u graduiranoj geometriji s ključnim rezultatima koji uključuju: (i) robusni pojam integracije na graduiranim mnogostrukostima, uključujući Stokesov teorem i Poincaréovu dualnost, (ii) Darbouxov teorem za graduirane simplektičke mnogostrukosti proizvoljnog stupnja i analog Weinsteinovog teorema o cijepanju, te (iii) dobivanje kategorije kompleksnih graduiranih mnogostrukosti putem odgovarajuće generalizacije Newlander–Nirenbergovog teorema i zanimljivih primjera istih. Naposljetku, iskoristit ćemo ovaj matematički alat u fizici, istražujući primjene graduirane geometrije u gravitaciji, baždarnoj teoriji, sigma-modelima i kvantizaciji.